고1.부분분수 전개

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부분분수로 바꾸는 일은 통분하는 과정의 반대입니다.

공식 이해는 어려울 듯 해 직접 이 문제로 설명합니다.

일단 분모를 인수분해 하면 이 됩니다.

통분을 할 때, 우리는 분모들의 최소공배수를 찾지만 최소공배수를 쓰지 않고, 분모를 곱한 것을 공통분모로 해도 상관 없습니다.

마지막에 약분만 더해 주면 되니까요..

그래서 먼저 인수분해를 통해 곱해진 두 분모가 누구인지를 먼저 결정합니다.

그러면 이 문제에서는 두 분수의 분모가 이 되는 것입니다.

주어진 분수의 통분 전 모습은 의 형태가 됩니다.

여기서 연결부호는 대부분이 "-"를 사용하고, 가끔 특이하게 "+"를 사용하는 경우도 있습니다.

"-"이든 "+"이든 우리는 통분된 결과가 처음 분수와 같도록만 분자를 정하면 됩니다.

일반적으로 분자는 분모보다 차수가 하나 작은 식을 씁니다.

그래서 첫 번째 분수의 분자는 상수인 a로, 두 번째 분수의 분자는 일차식인 bx+c로 나태냅니다.

우변을 통분하면 분모는 당연히 같아지고, 분자는 전개하여 정리하면

인데 이것이 x+2와 같아야 하는 것입니다.

따라서 항등식의 성질로 a-b=0, a+b-c=1, a+c=2의 연립방정식이 성립해야 하고, 이를 풀면 a=1, b=1, c=1이 구해집니다.

따라서 부분분수로 변형된 식은 이 됩니다.

Q.

일반적으로 분자는 분모보다 차수가 하나 작은 식을 씁니다. 라고 하셨는데
왜 그런지 이해가 안가요

A.

진분수형태로 나타내기 때문이죠~
차수가 하나이상으로 작을테니 차수가 하나 작은 식으로 나타냅니다.
예를들어 분모가 2차이면 분자는.1차 또는 상수로 나타나겠쬬~
분모가 ax^2+bX+c 이라면 분자는 ax+b 꼴로 나타내고
분자가 1차라면 a값이 있을테고. 분자가 상수라면 0이겠죠~