임의의 실수x ,모든 실수 x, 어떤 실수 x

임의의 실수x ,어떤 실수x 라는 말만 나오면 저는 주눅이 
들어버립니다. 도대체 무슨 뜻인지 문제의 뜻 조차 파악 할 수 
없습니다. 가르쳐 주세요. 

예) 

모든 실수 x 에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. 
x^4+4x^3+9 >= 2x^2+12x 






[답변] 말을 정확하게 하는 방법일 뿐입니다.


"모든 사람은 죽는다."
이런 식의 말은 항상 씁니다. 이 말을
"임의의 사람 x 에 대해 x 는 죽는다."
이렇게 말해도 틀린 말이 아니라는 것은 분명합니다. 즉, 아무 사람이나 골라서 x 라고 한다면, 그 x 는 죽는다, 이런 말입니다.

왜 쉽게도 되는 말을 어렵게 하는가? 그렇게 하지 않으면 안될 상황이 있기 때문입니다. 예를 들어 "모든 사람의 어머니는 그 사람의 아버지와 결혼했다." 와 같이 말하면, 자칫 오해의 소지가 있는데 비해 "임의의 사람 x 에 대해, x 의 어머니는 x 의 아버지와 결혼했다." 라고 하면 전혀 애매함이 없이 자기 생각을 표현할 수 있는 것입니다. 어떤 관계를 식으로 표현하는 경우가 바로 그런 경우입니다.

결국,

임의의 실수 x 에 대해 x⁴+4x³+9 ≥ 2x²+12x

임을 증명하라는 것은 x 에 어떤 실수를 대입해도 이것이 성립함을 보이라는 말입니다. 보통 일이 아니지요. (이 경우는 아마도 그래프를 그려서...)

반면 어떤 실수 x 에 대해 x² - 2x = -1 임을 보이라는 것은 전혀 다른 문제로 이것은 그렇게 되는 실수 x 가 "존재함"을 보이라는 것입니다. 즉, "어떤 x 에 대해 ..." 라는 말은 "... 인 x 가 존재한다" 는 말입니다. 그것을 증명하려면, 성립되는 것 하나만 구하면 됩니다. (위의 문제의 경우는 x=1)