1.a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca(단, 등호는 a=b=c일 때 성립)

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1.a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca(단, 등호는 a=b=c일 때 성립)


a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
이항해서 정리하면
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≥0
양변에 2를 곱한후, 식을 알맞게 정리하면
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ca+c^2≥0
묶어주면
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0
그런데 어떤수의 제곱은 무조건 0이상, 즉 a²≥0이므로
(a-b)²≥0,(b-c)²≥0,(c-a)²≥0
그런데 만약a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca이 되려면 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0이 되야 하므로
a=b,b=c,c=a가 되야만 한다
따라서 등호는 a=b=c일때에만 성립된다.