정석 상 p287 18-2 (3)

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" l3-xl 에서 x ≥ 3 이면 3 일때 0 이고 3 보다 크면 음수됨,,,그러니까 -(3-x)로 써도 됨" 이라고 답변 받았거든요

그런데 궁금한게 A≥0 |A|=A 잖아요. 그럼 위에서 3 일때는 절대값안에 0 이되고 |0|=A 가 나와야하는데

3-x로 나오면 -(3-x) 와 값이 틀리잖아요.. 제가 뭘 잘못안거죠 ? 

수학의 정석(상) 292p 부등식 유제 18-5

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수학의정석 10-가 유제 18-2 (3)번문제

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|x-a|+|x-b|>c(여기서 a는 항상 b보다 작다고 칩니다) 의 꼴이 나타나는 경우는 모두 세가지를 생각해야 됩니다.

첫번째는 x가 b보다 크거나 같을 경우

두번째는 x가 a보다 크거나 같고 b보다 작을 경우

세번째는 x가 a보다 작을 경우

이렇게 범위를 세워주면 절대값 밖으로 숫자나 문자가 빠져나올때 각각 부호가 다르게 되죠. 그러니까 이 세가지 경우를 전부 찾아보고 공통부분을 구한다음에 해를 구해야 됩니다.

일단 절대값의 성질 중에 |x|=|-x|라는 것이 있죠?

이것을 이용해서 |x+1|+|3-x|>0를 |x+1|+|x-3|>0로 고칩니다.

그런다음 세 가지 경우를 따져야죠

먼저  x가 3보다 크거나 같을 경우입니다.

그러면 절대값 밖으로 빠져나올때 |x+1|과 |x-3| 모두 양수가 되겠죠

그러면 x+1+x-3>6 그러므로 x>4, 첫번째 경우는 x가 3보다 크거나 같다는 전제조건이 있으니까 두 부등식을 연립하면 x>4가 되겠죠.

두번째 경우인 x가 -1보다 크거나 같고 3보다 작은 경우입니다.

이 경우는 |x+1|은 양수가 되지만 |x-3| 은 음수가 되죠.

정리해보면 0x>2가 되죠, 어떤 수에 0을 곱해서 2보다 클수는 없으니 해가 없죠

세번째 경우인 x가 -1보다 작은 경우입니다.

이 경우는 |x+1|과 |x-3| 모두 음수로 빠져나오게되죠

정리하면 x<-1이 되죠. 주어진 조건과 연립하면 x>-3이 되죠

이 세가지 경우가 모두 해가 될 수 있기 때문에 세가지 범위의 합이 되는 것은

x>4 또는 x<-1이 됩니다.

절대값을 포함한 일차부등식

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What does stay turned mean?

source1

source2

What does do?

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매개변수와 인수의 차이

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매개변수(parameter)와 인수(argument)는 일반적으로 같은것처럼
통용됩니다. 뭐 그렇게 사용해도 크게 틀리지는 않습니다.

하지만 엄밀히 말하자면, 
파라미터는 함수의 정의에 사용되는 변수를 말하고,
인수는 함수호출에 사용되는 변수를 말합니다.

즉, 함수 작성시 
int my_test(char* str); 에서 사용되는 변수를 매개변수라고하고

char* buf = "hello";
int val = my_test( buf ); // 옆의 buf를 인수라고 합니다.

정리하자면, 함수 프로토타입이나 함수 헤더 작성시 사용되는 변수를
매개변수, 코딩도중에 함수호출시 사용되는 변수를 함수의 인수라고 합니다.

[참고]
C Programming Language, C++ Pirmer Plus 에 님의 질문의 내용들이
설명되어있습니다.

두일차식의곱으로 인수분해된다는게 어째서 완전제곱꼴이된다는거죠??

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x²-4xy+ky²+6x-8y+5

입니다. 준 식을 x에 대한 이차방정식 형태로 보고 근의 공식을 써보면,

가 나옵니다. 두 근을 이용하여 위 식을 다시 쓰면

가 나오겠지요.

문제에서 x, y의 일차식의 곱으로 표현된다고 했으며 위 식에서 D는 y에 대한 이차식이 나오겟지요.

일차식의 곱으로 표현될려면 루트 D 가 제곱 형태가 되어 루트가 벗겨져야 합니다.

그러므로 D 부분이 완전제곱형태가 되어야 합니다.

그러므로 D부분의 판별식이 0 이 되어야 하지요.

결국 문제를 x에 대한 이차식으로 본다면 판별식의 판별식이 0 이다.  이런 말이 됩니다.

정석 (상) 기본문제 16-5

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기본문제 16-5

Windows XP , Windows 7 Environment variables (default)

Windows XP , Windows 7 Environment variables (default)

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정석 상 기본문제 16-4

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Q.

정석 10-가  기본문제 16-4

이차방정식 x²-ax+b=0의 두근을 알파,베타라 할 때, 이차방정식 x²+ax+b=0의 두 근은 알파-1,베타-1이라 한다.

알파세제곱, 베타세제곱을 구하여라.

이건데요    x³=-1까지는 나왔구여 그담에 막혀서 풀이를 밨는데

알파,베타는 이방정식의 두 허근이므로 알파세제곱=-1 베타세제곱=-1 이라고 하네요..

두허근이란것까진 알겠는데 왜 두허근이므로 '알파세제곱=-1 베타세제곱=-1'이 나온거죠?

A.

아주 간단합니다.

x³=-1라는 삼차방정식에는 하나의 실근과 두개의 허근이 나옵니다.

그중 하나의 실근은 -1이 되고요. 그럼 알파, 베타는 두개의 허근이 됩니다.

실근이든 허근이든 어차피 근이니까 대입하면 성립하겠죠?

x=알파이고 x=베타이기도 하니깐요.

x에다 알파와 베타를 대입해봅시다.

API 란 ?

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파이썬 - 에디트플러스 설정

에디트플러스 설정

Python - Basic Operators

Python Essentials: Operators and Expressions

Python Essentials: Operators and Expressions

지수가 - 가 나올수 있나요?

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Q.

지수가 - 가 나올수 있나요?

A.

네  지수는 마이너스 가 나올수도 있고 분수가 나올수도 있습니다..

그러니까 실수가 지수로 나올수 있지요

일단 2의 마이너스 5승은  2의 5승 분에 일 입니다.

즉

                                  1

2의 -5승 =     --------------

                            2의 5승           입니다,

근과 계수의 관계 la-bl

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Q.

정석의 보니깐요

1.ㅣa-b l 는 실수의 근에서만 성립한다는데 왜죠????

그리고 유도과정에서

이렇게 나오는데  3번째 등호가 성립되는 과정에서 그니깐 마지막 등호요

2. 왜 분자 부분은 절대값이 벗겨지는거죠??

A - 1

1. 절대값의 기본의미를 되새기시면 됩니다.

절대값은 수직선에서 원점부터 그 수까지의 거리를 나타냅니다.

그런데 복소수는 수직선에 나타낼 수 없는 수이죠..

이유는 수직선은 실수와 1:1대응이 되어 수직선 위에 숫자가 대응되지 않는 점이 없기 때문입니다.

그래서 복소수는 대소관계(수직선의 오른쪽에 있을 수록 큰 수)를 따질 수 없고요, 부호를 결정(0의 왼쪽에 있으면 음수, 오른쪽에 있으면 양수)을 할 수 없는 것입니다.

따라서 허근인 경우는 수직선 위에 나타낼 수 없어 그 거리를 따질 수가 없는 것입니다.

2. 기본적으로 루트a는 루트 기호 앞에 +부호가 생략된 것으로 양수입니다.

즉 루트 기호를 가진 수가 음수임을 나타낼려면 루트 앞에 -부호를 꼭 붙여야 한다는 것이죠..

따라서 절대값 기호를 그냥 없애도 아무 문제 없습니다.

A - 2

1. ㅣa-b l 라는 것은 큰 근에서 작은 근을 뺀 값이라고 할 수 있겠죠?

  그런데 실근이 아닌 허근을 가질 경우, 허수는 대소비교를 할 수 없기 때문에 절대값을 취할 수가 없습니다.

  그래서 ㅣa-b l 는 실근에서만 성립한다는 거구요,

  허근일 경우 두 근의 차 a-b 는 위의 방식으로 구할 수 있습니다.

  위의 유도과정에서 절대값 기호들만 빼주면 되죠.

2. 분자부분의 절대값이 벗겨지는 이유는, 분자가 이미 양수이기 때문입니다.

   이미 ㅣa-b l 는 실근에서만 성립한다고 했으므로, 위의 유도과정에서 b^2-4ac 는 0보다 크거나 같죠?

   절대값 안이 양수일 경우 그대로 절대값을 벗길 수 있으므로 위의 과정에서 분자는 절대값이 벗겨지는 겁니다.

근과 계수와의 관계 - 두근의 차

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절대값 성질

ax^2 +bx+ c가 완전제곱식이 될 조건? (a는 0이 아님)

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ax^2+bx+c(a는 0이아님)가 완전제곱식이 될 조건을 구하시오.

a 혹은 c가 음수인 경우, 이식은 완전제곱식이 될 수 없습니다.

a와 c는 제곱한 수가 들어가는 자리이므로 음수가 되면 안됩니다.

a가 -1, b가 2 c가 -1이라고 가정하면

-(x-1)^2이 되는데, 앞에 붙어있는 -1도 완전제곱식안에 들어가야 하므로,

저 식은 완전제곱식이라고 할 수 없습니다..괄호 안만 완전제곱식이 됩니다. 만약 =0이 붙어있다면 완전제곱식입니다. 양변에 -1을 곱할 수 있으니까요.

x의 계수가 1이 되도록 a로 묶습니다.

그러면

a(x^2+(b/a)x+(c/a))가 되겠지요.

여기서 완전제곱식의 성질을 살펴봅시다

(x+a)^2= x^2  + 2ax  +  a^2

 여기서는 편의상 x의 계수를 1로 두었습니다.

보시는 바와 같이, 상수항은 1차항의 계수의 반(a/2)을 제곱((a/2)^2)한 수입니다.

그러면 이제 원래 식으로 돌아갑시다.

a(x^2+(b/a)x+(c/a)) 라는 식에서,

우선 x에 대한 완전제곱식을 만들기 위해서 상수항은 생각하지 않고

(b/2a)^2을 더하고 뺍니다. 그렇게 해야 원래 식과 똑같기 때문입니다.

그러면 다음과 같이 됩니다.

a(x^2+(b/a)x+(b^2/4a)-(b^2/4a)+(c/a))

처음 식과 다른 듯 하지만, 계산 되는 것끼리 계산하면 결국 같은 식입니다.

어쨌든 이제 x에 관한 완전제곱식을 만들었고 상수항만이 남았습니다.

a((x+(b/2a))^2-(b^2/4a)+(c/a))

제곱식 밖의 상수항을 통분하면

a((x+(b/2a))^2+(-b^2+4ac)/4a)

와 같이 표현할 수 있습니다.

이제 이 식이 완전제곱식이 되려면, (-b^2+4ac)/(4a)이 0이 되는 수밖에 없습니다.

x+b/2a를 하나의 문자로 잡고 완전제곱식을 만들기 위해서는 일차항이 필요한데,  그것은 지금 상황에서 만들 수 없습니다. 이미 모든 x를 묶어서 완전제곱식을 만들었잖아요..

(-b^2+4ac)/4a=0

이라면, 이 식이 완전제곱식이 됨을 알 수 있습니다.

정리하면,

유명한 b^2-4ac=0라는 식으로 변형할수도 있구요..ㅋ

바로 이것을 판별식이라고 하지요.

그럼 부록으로 근이 없는 경우, 근이 두개인 경우도 적어보겠습니다.

이제는 그래프를 떠올려 봅시다.

위 식에 =y만 붙이면 이차함수의 꼴이 되고, 그래프를 그릴 수가 있지요?

그 그래프의 식은

y=a(x+(b/2a))^2  -  (b^2-4ac)/4

가 될 것입니다.a 밖으로 상수항을 끌어냈기 때문에 분모의 a가 사라졌습니다.

맨 위에서 a는 양수라고 했으므로 이 그래프는 아래로 볼록한 그래프일 것입니다.

그리고 b^2-4ac(나누기 4는 이 값의 부호에 아무런 영향을 주지 못하지요.)가 양수라면

이 그래프의 꼭지점은

(-b/2a,어떤 음수)가 될 것입니다.

위로 뻗어나가는 그래프이기 때문에 반드시 x축과 만나는 점이 있습니다.

여기서도 역시 -b/2a는 중요한 값이 아닙니다.

y축의 오른쪽에 꼭지점이 위치했느냐,

왼쪽에 꼭지점이 위치했느냐는 근을 구할 때 중요한 점이 아니기 때문입니다.

y가 0일때의 함수값을 방정식으로 볼 수 있습니다.

그리고 x축과 만나는 점은 (x,0) 즉, y가 0이므로 x는 이 방정식의 근이 되는데,

이  이차함수는 두 가닥으로 올라가므로 근이 두개입니다.

그러므로 두 근이 생깁니다.

반대로 b^2-4ac가 음수라면 꼭지점은 (-b/2a, 어떤 양수)가 되어, 
x축과의 교점, 즉 근이 실수 범위에서는 없게 됩니다. 근은 허수 범위에 있습니다 =_= 즐인!

축의방정식

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축의방정식이x=0(y) 라되있는데 (y)는 왜 있는건가요?

중3 이차함수에서 축의방정식을 말씀하시는 것 같은데

님이 적으신 x=0이 축의 방정식이 되는 경우는 이차함수의 꼭짓점이 (0,0)인경우입니다.

괄호에 y는 y축이라는 말입니다. x=0은 축의 방정식이고 즉 y축이되는 겁니다.

꼭짓점이 원점이 아닌경우 축의 방정식은 쉽게 설명해서

꼭짓점 좌표에서 x값이라고 생각하시면 됩니다.

예를 들어 꼭짓점좌표가 (2,3)이면 축의 방정식은 x=2가 되는 겁니다.

꼭짓점좌표가 (4,5)이면 축의방정식은 x=4가 되겠죠.


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축의방정식이뭔가요 ?

여기서 빨간 실선이 축입니다.

이차함수에서의 축을 말씀하시는듯하여 y=a(x-p)²+q 의 그래프를 그린 것입니다. # (9-가) p192

아시다시피 위의 함수의 꼭지점은 (p, q) 입니다.

근데 이 이차함수는 꼭지점을 기점으로 좌우로 대칭입니다.

그러니까 꼭지점을 지나는 저 빨간 선을 기점으로 좌우로 대칭입니다.

이차함수의 그래프를 대칭으로 나누는 선. 그림에선 빨간 선이 축인 것입니다.

축은 꼭지점 (p, q) 를 지나고 y축에 평행한 직선으로

x = p 라고 하면 됩니다.

그러니까 x = 꼭지점의 x좌표 가 바로 축의 방정식 입니다.