ax^2 +bx+ c가 완전제곱식이 될 조건? (a는 0이 아님)

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ax^2+bx+c(a는 0이아님)가 완전제곱식이 될 조건을 구하시오.

a 혹은 c가 음수인 경우, 이식은 완전제곱식이 될 수 없습니다.

a와 c는 제곱한 수가 들어가는 자리이므로 음수가 되면 안됩니다.

a가 -1, b가 2 c가 -1이라고 가정하면

-(x-1)^2이 되는데, 앞에 붙어있는 -1도 완전제곱식안에 들어가야 하므로,

저 식은 완전제곱식이라고 할 수 없습니다..괄호 안만 완전제곱식이 됩니다. 만약 =0이 붙어있다면 완전제곱식입니다. 양변에 -1을 곱할 수 있으니까요.

x의 계수가 1이 되도록 a로 묶습니다.

그러면

a(x^2+(b/a)x+(c/a))가 되겠지요.

여기서 완전제곱식의 성질을 살펴봅시다

(x+a)^2= x^2  + 2ax  +  a^2

 여기서는 편의상 x의 계수를 1로 두었습니다.

보시는 바와 같이, 상수항은 1차항의 계수의 반(a/2)을 제곱((a/2)^2)한 수입니다.

그러면 이제 원래 식으로 돌아갑시다.

a(x^2+(b/a)x+(c/a)) 라는 식에서,

우선 x에 대한 완전제곱식을 만들기 위해서 상수항은 생각하지 않고

(b/2a)^2을 더하고 뺍니다. 그렇게 해야 원래 식과 똑같기 때문입니다.

그러면 다음과 같이 됩니다.

a(x^2+(b/a)x+(b^2/4a)-(b^2/4a)+(c/a))

처음 식과 다른 듯 하지만, 계산 되는 것끼리 계산하면 결국 같은 식입니다.

어쨌든 이제 x에 관한 완전제곱식을 만들었고 상수항만이 남았습니다.

a((x+(b/2a))^2-(b^2/4a)+(c/a))

제곱식 밖의 상수항을 통분하면

a((x+(b/2a))^2+(-b^2+4ac)/4a)

와 같이 표현할 수 있습니다.

이제 이 식이 완전제곱식이 되려면, (-b^2+4ac)/(4a)이 0이 되는 수밖에 없습니다.

x+b/2a를 하나의 문자로 잡고 완전제곱식을 만들기 위해서는 일차항이 필요한데,  그것은 지금 상황에서 만들 수 없습니다. 이미 모든 x를 묶어서 완전제곱식을 만들었잖아요..

(-b^2+4ac)/4a=0

이라면, 이 식이 완전제곱식이 됨을 알 수 있습니다.

정리하면,

유명한 b^2-4ac=0라는 식으로 변형할수도 있구요..ㅋ

바로 이것을 판별식이라고 하지요.

그럼 부록으로 근이 없는 경우, 근이 두개인 경우도 적어보겠습니다.

이제는 그래프를 떠올려 봅시다.

위 식에 =y만 붙이면 이차함수의 꼴이 되고, 그래프를 그릴 수가 있지요?

그 그래프의 식은

y=a(x+(b/2a))^2  -  (b^2-4ac)/4

가 될 것입니다.a 밖으로 상수항을 끌어냈기 때문에 분모의 a가 사라졌습니다.

맨 위에서 a는 양수라고 했으므로 이 그래프는 아래로 볼록한 그래프일 것입니다.

그리고 b^2-4ac(나누기 4는 이 값의 부호에 아무런 영향을 주지 못하지요.)가 양수라면

이 그래프의 꼭지점은

(-b/2a,어떤 음수)가 될 것입니다.

위로 뻗어나가는 그래프이기 때문에 반드시 x축과 만나는 점이 있습니다.

여기서도 역시 -b/2a는 중요한 값이 아닙니다.

y축의 오른쪽에 꼭지점이 위치했느냐,

왼쪽에 꼭지점이 위치했느냐는 근을 구할 때 중요한 점이 아니기 때문입니다.

y가 0일때의 함수값을 방정식으로 볼 수 있습니다.

그리고 x축과 만나는 점은 (x,0) 즉, y가 0이므로 x는 이 방정식의 근이 되는데,

이  이차함수는 두 가닥으로 올라가므로 근이 두개입니다.

그러므로 두 근이 생깁니다.

반대로 b^2-4ac가 음수라면 꼭지점은 (-b/2a, 어떤 양수)가 되어, 
x축과의 교점, 즉 근이 실수 범위에서는 없게 됩니다. 근은 허수 범위에 있습니다 =_= 즐인!