정석 10-가 기본문제 8-5

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p154

기본문제 8-5 (x)를 (x-1)²으로 나눈 나머지는 2x-1이고, x-3으로 나눈 나머지는 1이다.

이 때 f(x)를 (x-1)²(x-3)으로 나눈 나머지를 구하여라.

아래의 해설을 보면,

f(x)=(x-1)²(x-3)Q(x)+ax²+bx+c

로 놓을수 있다.

여기에서 앞부분 (x-1)²(x-3)Q(x)가  (x-1)²로 나누어 떨어지므로, f(x)를 (x-1)²으로 나눈 나머지는 뒷부분 ax²+bx+c를 (x-1)²로 나눈 나머지와 같다.

검은색 부분의 열에 열. 해설이 이해가지 않을것이다.

이부분을 더 자세하게 해설하면,

문제를 일단 수식들로 표현하면,

f(x)=(x-1)²Q`(x) + 2x-1

f(x)=(x-3)Q``(x) + 1

f(x)=(x-1)²(x-3)Q(x) + ax² + bx + c 이고,

앞부분 (x-1)²(x-3)Q(x)가 (x-1)²로 나누어 떨어지므로, f(x)를 (x-1)²으로 나눈 나머지는 뒷부분 ax²+bx+c를 (x-1)²로 나눈 나머지와 같다.

이 부분을 자세히 설명하자면,

f(x)=(x-1)²Q`(x) + 2x-1 과 f(x)=(x-1)²(x-3)Q(x) + ax² + bx + c 는 서로 같은 f(x) 식이다

따라서,

(x-1)²Q`(x) + 2x-1 = (x-1)²(x-3)Q(x) + ax² + bx + c 이고,

좌변에 Q(x) 로 곱해진 부분을 이항하면,

-(x-1)²(x-3)Q(x) + (x-1)²Q`(x) + 2x - 1  = ax² + bx + c

여기서 (x-1)² 은 공통인수이므로 (x-1)² 이란 공통인수로 묶는다.

묶으면,

(x-1)² {Q`(x) - (x-3)Q(x)} + 2x - 1 = ax² + bx + c

그런데 Q`(x) - (x-3)Q(x) 부분은 상수여야 한다. 왜냐하면, Q`(x) - (x-3)Q(x) 부분

이 어떤 일차식이상이라면,

우변의 식과 항등식이 되어야 하는데,

 ax² + bx + c 꼴이 이차식인데 , 만약 일차식이상이라 하면,

Q`(x) - (x-3)Q(x) 부분 과 (x-1)² 이차식이 곱해지면 삼차식이상이 되므로

Q`(x) - (x-3)Q(x) 의 차수는 이차식도 ,삼차식 다 안되다.

따라서 Q`(x) - (x-3)Q(x) 는 상수다 이를 T로 치환하면,

T(x-1)² + 2x - 1 = ax² + bx + c 다.

따라서, a=T이다

따라서, a(x-1)² + 2x - 1 = ax² + bx + c 

따라서, f(x) = (x-1)²Q`(x) + 2x-1 = (x-1)²(x-3)Q(x) +ax² + bx + c   에서

f(x) = (x-1)²(x-3)Q(x) + a(x-1)² + 2x - 1

이므로 

 앞부분 (x-1)²(x-3)Q(x)가 (x-1)²로 나누어 떨어지므로, f(x)를 (x-1)²으로 나눈 나머지는 뒷부분 ax²+bx+c를 (x-1)²로 나눈 나머지와 같다.

[출처] 정석 10-가 기본문제 8-5|작성자 김연아가연아요