다항식의 약수와 배수

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G.C.D(Greatest common divisor:앞으로 이를 G라 표시)을 구하는 방법은 G의 정의에 의해서

반드시 포함하는 최소의 차수만 적으면 됩니다

즉 A=aG이고 B=bG고 C=cG 일때 이때 셋 다 포함되어 있는 G(숫자는 최소 지수 문자는 가장 낮은 차수)

를 적으면 됩니다.

L.C.M(least common multiple;앞으로 이를 L이라 표시) 을 구하는 방법은 L의 정의에 의해서

 n개의 다항식의 G와 서로소 관계로 나누고

모든 서로소의 곱과 최대공약수를 곱해서 모든 다항식을 포함하되 , 최소로 포함되게 하면 됩니다

즉 L=abcd....nG 입니다

이게 무슨 말이냐 하면 같은 숫자 혹은 같은 문자의 최고차수를 써서 최고차수만 적으면 됩니다

그렇게 하면 모든 것을 포함하지만 (동일 수나 문자의 최고차수를 곱하므로 낮은차수도 포함)

최소(동일 수나 문자의 최고차수만 곱하므로 불필요한 낮은차수는 삭제)가 되기도 합니다

또한 알아두어야 할 것이 음수가 포함된 L과 G의 계산인데

정수에서의 L과 G의 경우 음수와 0은 고려하지 않습니다

가령 120 과 -48과 36의  음수인 L을 고려할 경우, -720 이외에도 더 작은 -1440도 있을 수 있고

그것보다 더 작은 수를 포함해 정해지지 않는 무한의 큰 값이 생겨 의미가 없기 때문입니다

또한 0의 경우  모든 수의 공배수가 되므로 의미가  없습니다 

또한 음수나 0인 G는 존재해도 양수의 G보다 항상 작기 때문에 음수나 0인 L도 고려하지 않습니다  

그래서 이를 이용해 풀어보면

1번의 식은 실수에서의 약배수와 다항식에서의 약배수의 혼합형 문제군요

120a^2bx^2y^5은 2^3 곱하기 3 곱하기 5 a^2bx^2y^5이 되고

-48a^2b^2x^2y^2은 -(2^4 곱하기 3) a^2b^2x^2y^2이 되고

36a^3by4은 2^2 곱하기 3^2 a^3by4이 되서 

G는 바로 12a^2by^2 이 되며 L은 바로 720a^3b^2x^2y^5이 됩니다

2번 문제도 마찬가지네요

12a^3b^3cxy^2 은 2^2 곱하기 3 a^3b^3cxy^2이 되고

-9a^2b^5c^3z 는 -(3^2) a^2b^5c^3z가 되고

6a^3b^4c^4w^2은 2 곱하기 3 a^3b^4c^4w^2이 되므로

G는 3a^2b^3c가 되고 L은 36a^3b^5c^4xy^2zw^2이 됩니다.

약수와 배수는 대학교에서 정수론을 배울때 꼭 필요한 개념이고 고등학교 수학에서도

여러곳에서 활용되므로 지금 잘 알아두시길 바라며 추가로

중학교때(였는지 잘 기억은 안나지만)의 정수에서의 약수와 배수도 알아두시길 바랍니다

그럼 건승하십시오!

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최대공약수와 최소공배수에 대해 궁금한거군요

우선 고등학교에서는 최소공배수를 구할때 수약수(인수)는 계수의 역할이므로 취급하지 않는다고 정석에 나와 있습니다. 따라서 식의 인수만 가지고 답을 하면 됩니다.(숫자를 써도 되요)

팁하나 알려드리면

최대공약수는  주어진 다항식을 인수분해 해서 공통인수중에서 낮은 차수의 항을 다 모으면 되요

최소공배수는  주어진 다항식을 인수분해 해서 공통인수중에서 높은 차수의 항과 공통아닌인수의 항을 다 모으면 되요

예를 들어 2(x+2)(x-5) 와 4x(x-5)^2의 최대공약수와  최소공배수를 구할때

최대공약수는 (x-5) 이 공통이므로 (x-5) 이고 물론, 2(x-5) 도 되고

최소공배수는 : (x-5) 이 공통이므로 x(x+2)(x-5)² 가 되요            물론, 4x(x+2)(x-5)² 되요

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1. 9xy³, 6x²y²

에서 최대공약수는

3xy^2 이고요

최소공배수는 

(3xy^2)(3y)(2x)=18 x^2 y^3

2.x²+6x+5, x²+3x-10
최대공약수는 
x²+6x+5 =(x+5)(x+1)
x²+3x-10=(x+5)(x-2)
이므로
(x+5) 이다

최소공배수는
(x+5)(x+1)(x-2)이다

최대공약수는 두 개의 주어진 값에서 공통으로 포함하고 있는 값중에서 가장 큰 값이고 최소공배수는 쉽게 구할라묜 최대공약수에다가 각 항에서 나머지 것들을 곱해주면 돼요..2번 문항에서 보면 (x+5)는 최대공약수가 되고 (x+1)랑(x-2)가 두 항에서 최대공약수를 제외한 값이니깐..이 세개를 곱하면 최소공배수가 됩니다.